Question

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b为实数．
（1）当a＞0，b＞0时，判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）当ab＜0时，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的单调性定义，即可证得，注意作差、变形，运用指数函数的单调性；
（2）首先化简得到a•2^x+2b•3^x＞0，再讨论a＞0，b＜0和a＜0，b＞0，运用指数函数的单调性即可得到范围．

解答： 解：（1）函数f（x）在R上是增函数．
理由如下：任取m，n∈R，m＜n，
则f（m）-f（n）=a（2^m-2ⁿ）+b（3^m-3ⁿ），
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，a＞0，即有a（2^m-2ⁿ）＜0，b＞0，3^m＜3ⁿ，即有b（3^m-3ⁿ）＜0，
则f（m）-f（n）＜0，
故函数f（x）在R上是增函数；
（2）f（x+1）＜f（x）
即有f（x+1）-f（x）=（a•2^x+1+b•3^x+1）-（a•2^x+b•3^x）
=a•2^x+2b•3^x＞0，
当a＜0，b＞0时，（

3

2

）^x＞-

a

2b

，则x＞log_1.5（-

a

2b

）；

当a＞0，b＜0时，（

3

2

）^x＜-

a

2b

，则x＜log_1.5（-

a

2b

）．

点评：本题考查函数的单调性和运用：解不等式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．