Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x2

3

sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（A）=1，a=

3

，b+c=3，试求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A）=1，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入得到关系式，已知等式b+c=3变形得到关系式，联立求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可确定出三角形ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，得：2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-bc=3①，
由b+c=3得：b²+c²+2bc=9②，
②-①得：3bc=6，即bc=2，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．