Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x在（1，+∞）上是增函数．
（I）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=e^2x-2ae^x+a，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导函数，根据函数f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数，可得x+

1

x

+a-4≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，即可确定实数a的取值范围；
（2）设t=e^x，则g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，1≤t≤3，再分类讨论：①2≤a≤3；②a≥3，即可得到结论．

解答： 解：（1）求导函数，可得f′（x）=x+

1

x

+a-4
∵函数f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数
∴x+

1

x

+a-4≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≥4-（x+

1

x

）恒成立
∵x+

1

x

≥2（当且仅当x=1时，等号成立）
∴4-（x+

1

x

）＜2
∴a≥2
（2）设t=e^x，则g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，
∵x∈[0，ln3]，∴1≤t≤3
①当2≤a≤3时，g（t）最小值为a-a²；
②当a≥3时，g（t）最小值为9-5a．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查二次函数最值的研究，分离参数，利用配方法求二次函数的最值时关键．