Question

已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）对于区间[-2，2]上任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）过点M（2，m）（m≠2）可作y=-f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由奇函数得到b=0，求出导数，令f′（1）=0，f（1）=2，求出a，c的值，即可得到解析式；
（2）区间[-2，2]上任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c即为c≥f（x）_max-f（x）_min，求出区间[-2，2]上的最值，即可；
（3）点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=-f（x）上，设切点（x₀，x₀³-3x₀），切线斜率为3x₀²-3，则有3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，2x₀³-6x₀²+6+m=0关于x₀有三个不同的解，令h（x）=2x³-6x²+6+m，求出导数，以及极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可．

解答： 解：（1）∵奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），
∴b=0，
∴f′（x）=3ax²+c，
∵f（x）在x=1处取得极大值2，
∴f′（1）=0，f（1）=2，即3a+c=0，a+c=2，
∴a=-1，c=3．
∴f（x）=3x-x³．
（2）区间[-2，2]上任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c等价为
c≥f（x）_max-f（x）_min，
由（1）得，f′（x）=3-3x²，f′（x）=0，x=±1．
∵f（-1）=-2，f（1）=2，f（-2）=2，f（2）=-2，
∴y=f（x）在区间[-2，2]上的最大值为2，最小值为-2．
∴c≥4，c的最小值为4．
（3）点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=-f（x）上，
设切点（x₀，x₀³-3x₀），切线斜率为3x₀²-3，则有
3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，2x₀³-6x₀²+6+m=0关于x₀有三个不同的解，
令h（x）=2x³-6x²+6+m，h′（x）=6x²-12x，
∴h（x）在（-∞，0），（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减，
∴只要h（0）=6+m＞0，且h（2）=-2+m＜0，
∴-6＜m＜2．即实数m的取值范围是（-6，2）．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间、求极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查构造函数的思想，求极值，是一道综合题．