Question

已知：f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x，求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大、最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin(2x+

π

6

)，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期 

2π

ω

，可得结论．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大、最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x=cos2x+

3

sin2x=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)=2sin(2x+

π

6

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，∴2sin(2x+

π

6

)∈[-1，2]，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．