Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=4，a₅+a₇=14，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式，列出方程，解出首项和公差，从而写出通项公式和求和公式；
（Ⅱ）根据{a_n}的通项，化简b_n，并拆成两项的差，注意前面乘一个系数，然后运用裂项相消求和，应注意消去哪些项，保留哪些项，可以多写几项，找出规律．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，
∵a₃=4，a₅+a₇=14，
∴a₁+2d=4，2a₁+10d=14，
∴a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
S_n=n×2+

1

2

n（n-1）×1=

n2+3n

2

，
即a_n=n+1，S_n=

n2+3n

2

；
（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴a_n²-1=（n+1）²-1=n（n+2），
∴b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b_n-2+b_n-1+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+

1

5

-

1

7

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4(n2+3n+2)

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列求和的重要方法：裂项相消求和，应注意求和时哪些项消去，哪些项保留．