题目内容
若不等式（x+y）（
+
）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为 ．
| a |
| x |
| 4 |
| y |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：不等式（x+y）（
+
）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤[(x+y)(
+
)]min．令f（x）=（x+y）（
+
），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．
| a |
| x |
| 4 |
| y |
| a |
| x |
| 4 |
| y |
| a |
| x |
| 4 |
| y |
解答：
解：∵不等式（x+y）（
+
）≥16对任意正实数x、y恒成立，
∴16≤[(x+y)(
+
)]min．
令f（x）=（x+y）（
+
），（a＞0）．
则f（x）=a+4+
+
≥a+4+2
=a+4+4
．当且仅当
=
取等号．
∴a+4
+4=16，解得a=4．
因此正实数a的最小值为4．
故答案为：4．
| a |
| x |
| 4 |
| y |
∴16≤[(x+y)(
| a |
| x |
| 4 |
| y |
令f（x）=（x+y）（
| a |
| x |
| 4 |
| y |
则f（x）=a+4+
| ay |
| x |
| 4x |
| y |
|
| a |
| x |
| y |
| ||
| 2 |
∴a+4
| a |
因此正实数a的最小值为4．
故答案为：4．
点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．
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