Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），其中f（x）=x²-4x+2．
（1）求实数x及数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若{a_n}是递增数列，将数列{a_n}中的第2项，第4项，…，第2ⁿ项按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意分别化简a₁=f（x+1）、a₃=f（x-1），再由等差中项的性质列出方程求出x的值，再求出a₁、d的值，代入等差数列的通项公式化简即可；
（2）由{a_n}是递增数列得a_n=2n-4，再求出b_n=a2n=2ⁿ⁺¹-4，由分组求和法、等比数列的前n项和公式求出T_n．

解答： 解：（1）由题意得，a₁=f（x+1）=（x+1）²-4（x+1）+2=x²-2x-1，
a₃=f（x-1）=（x-1）²-4（x-1）+2=x²-6x+7，
因为数列{a_n}是等差数列，所以2a₂=a₁+a₃，
即x²-2x-1+（x²-6x+7）=0，则x²-4x+3=0，
解得x=1或x=3，
当x=1时，a₁=-2，d=2，a_n=2n-4，
当x=3时，a₁=2，d=-2，a_n=-2n+4，
（2）因为a_n}是递增数列，所以a_n=2n-4，
则b_n=a2n=2ⁿ⁺¹-4，
所以T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-4n=

22(1-2n)

1-2

-4n=2ⁿ⁺²-4n-4．

点评：本题考查了等差中项的性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列求和的方法：分组求和法．