Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=4+5cost y=5+5sint

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去t，化为直角坐标方程．再根据x=ρcosθ、y=ρsinθ 化为极坐标方程．
（Ⅱ）把曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求得C₁与C₂交点的直角坐标，再化为极坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为

x=4+5cost y=5+5sint

（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去t，
化为直角坐标方程为 （x-4）²+（y-5）²=25．
再根据x=ρcosθ、y=ρsinθ 化为极坐标方程为ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
（Ⅱ）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，即x²+（y-1）²=1．
由

(x-4)2+(y-5)2=25 x2+(y-1)2=1

，求得

x=1 y=1

，或 

x=0 y=2

，
故C₁与C₂交点 的直角坐标为（1，1）、（0，2），
故C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为 （

2

，

π

4

）、（2，

π

2

）．

点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标、把参数方程化为普通方程的方法，利用了公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，属于基础题．