Question

设角A，B，C为△ABC三个内角，已知cos（B+C）+sin²

A

2

=

5

4

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=-1，求BC边上的高AD长的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用诱导公式、倍角公式化简为关于A的余弦的等式解之；
（2）若

AB

•

AC

=-1，则AB×AC×cosA=-1，得到bc=2，再结合余弦定理求出a的最小值，因为面积确定，从而得到其高的最大值．

解答： 解：（1）cos（B+C）+sin²

A

2

=-cosA+

1

2

（1-cosA）=

5

4

，所以cosA=-

1

2

，所以A=120°．
（2）若

AB

•

AC

=-1，则AB×AC×cosA=-1，所以bc=2，所以三角形ABC的面积为

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，又由余弦定理的a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2+bc

≥

3bc

=

6

，所以BC边上的高AD长的最大值为

3 2

6

=

2

4

．

点评：本题考查了考查三角函数的化简，三角形的面积公式以及余弦定理 的运用、基本不等式的应用，考查计算能力，是常考题型．