Question

设F₁，F₂分别为椭圆W：

x2

2

+y2=1的左、右焦点，斜率为k的直线l经过右焦点F₂，且与椭圆W相交于A，B两点．
（Ⅰ）求△ABF₁的周长；
（Ⅱ）如果△ABF₁为直角三角形，求直线l的斜率k．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义，可求△ABF₁的周长；
（Ⅱ）如果△ABF₁为直角三角形，分类讨论，利用韦达定理，即可求直线l的斜率k．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆W的长半轴长a=

2

，左焦点F₁（-1，0），右焦点F₂（1，0），…（2分）
由椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
所以△ABF₁的周长为|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4

2

．…（5分）
（Ⅱ）因为△ABF₁为直角三角形，
所以∠BF₁A=90°，或∠BAF₁=90°，或∠ABF₁=90°，
当∠BF₁A=90°时，
设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由y=k（x-1），代入椭圆方程可得 （1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，…（7分）
所以x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

．…（8分）
由∠BAF₁=90°，得

F1A

•

F1B

=0，…（9分）
因为

F1A

=（x₁+1，y₁），

F1B

=（x₂+1，y₂），
所以

F1A

•

F1B

=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0，…（10分）
解得k=±

7

7

．…（11分）
当∠ABF₁=90°时，
则点A在以线段F₁F₂为直径的圆x²+y²=1上，也在椭圆W上，
由

x2 2 +y2=1 x2+y2=1

解得A（0，1），或（0，-1），…（13分）
根据两点间斜率公式，得k=±1，
综上，直线l的斜率k=±

7

7

，或k=±1时，△ABF₁为直角三角形．…（14分）

点评：椭圆的定义是解决椭圆问题的常用方法，直线与椭圆联立，利用韦达定理是解决直线与椭圆位置关系问题的方法．