Question

6．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且S₃=7，a₁+3，a₃+4的等差中项为3a₂．
（1）求a₂；
（2）若{a_n}是等比数列，求a_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件建立方程组，求解健康得答案；
（2）设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得首项与公比，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}=7}\\{\frac{（{a}_{1}+3）+（{a}_{3}+4）}{2}=3{a}_{2}}\end{array}\right.$，
解得a₂=2；
（2）设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得${a_1}=\frac{2}{q}，{a_3}=2q$．
又S₃=7，可知$\frac{2}{q}$+2+2q=7，∴2q²-5q+2=0，解得${q}_{1}=\frac{1}{2}$，q₂=2．
①若${q}_{1}=\frac{1}{2}$，∴a₁=4，
则${a}_{n}=4×（\frac{1}{2}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{n-3}$．
②若q₂=2，∴a₁=1，
则${a_n}={2^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了学生的运算能力和思维能力，属于中档题．