Question

14．对任意x∈R^*，不等式lnx≤ax恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$]
• D． [e，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为对任意x∈R^*，不等式lnx-ax≤0恒成立，令f（x）=lnx-ax，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：对任意x∈R^*，不等式lnx≤ax恒成立，
即对任意x∈R^*，不等式lnx-ax≤0恒成立，
令f（x）=lnx-ax，（x＞0），则f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，无最大值，不合题意，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
故f（x）max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1≤0，
解得：a≥$\frac{1}{e}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．