题目内容
16．已知椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为$4+2\sqrt{3}$，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．
分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率及△PF1F2的周长求出a、b即可；
（Ⅱ）由已知求出MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m，k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，k的值，从而得到直线l的方程．
解答 解：（ I）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，由题可知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{2（a+c）=4+2\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，--（2分）
解得$a=2，c=\sqrt{3}，b=1$，-----------------------（3分）
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．-----------------------（4分）
（ II）令$x=\sqrt{3}$，解得$y=±\frac{1}{2}$，所以|MN|=1，-----------------------（5分）
直线l与圆x2+y2=1相切可得$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k2+1=m2，-----------------------（6分）
联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0-----------（7分）
所以${S_{MANB}}=\frac{1}{2}|{MN}||{{x_1}-{x_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{2\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$----（9分）
将k2+1=m2代入可得${S_{MANB}}=\frac{{2\sqrt{3}|k|}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{1}{|k|}+4|k|}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．------------------（11分）
当且仅当$\frac{1}{|k|}=4|k|$，即$k=±\frac{1}{2}$时，等号成立，此时$m=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．------------------（12分）
所以，当$k=±\frac{1}{2}$时，四边形MANB的面积具有最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线l方程是$y=\frac{1}{2}x-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$y=-\frac{1}{2}x+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．-----------------------（13分）
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题
孟建平错题本系列答案
超能学典应用题题卡系列答案
| A． | 2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -1 | D． | -2 |
| A． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | 3 | D． | $2\sqrt{3}$ |