Question

15．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为k_PM，k_PN），则k_PM•k_PN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为k_PM，k_PN），双曲线的离心率e=$\sqrt{5}$，则k_PM•k_PN等于-4．

Answer 1

分析 设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，又设点P的坐标为（-a，0），表示出直线PM和PN的斜率，求得两直线斜率乘积的表达式即可

解答 解：M，N是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上关于y轴对称的两点，
P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为k_PM，k_PN）
设设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
即n²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$，又设点P的坐标为（-a，0），
由k_PM=$\frac{n}{m+a}$，k_PN=$\frac{n}{a-m}$，
∴k_PM•k_PN⁼$\frac{{n}^{2}}{{a}^{2}-{m}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$×$\frac{1}{{a}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-（e²-1）（常数）．
∴双曲线的离心率e=$\sqrt{5}$时，则k_PM•k_PN等于-4．
故答案为：-4

点评 本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，正确运算是关键．属于中档题．