Question

若定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且（x-1）f′（x）＜0（x≠1），则“对于任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＞2”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,简易逻辑

分析：求出函数y=f（x）图象的对称轴，然后根据（x-1）f′（x）＜0，判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性对充分性和必要性分别加以验证，即可得到本题答案

解答： 解：∵f（1+x）=f（1-x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
∵（x-1）f′（x）＜0，
∴x＜1时，f'（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，可得函数f（x）单调递减
①当f（x₁）＞f（x₂）时，结合x₁＜x₂，
由函数单调性可得1＜x₁＜x₂，
或1＞x₁＞2-x₂，
即x₁+x₂＞2成立，故充分性成立；
②当x₁+x₂＞2时，因为x₁＜x₂，必有x₁＞2-x₂成立，
所以结合函数的单调性，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立
综上所述，“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＞2”的充分必要条件，
故选：C

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．