Question

定义域为R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=-f（-1），c=-2f（-2），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、a＞c＞b
• B、c＞b＞a
• C、c＞a＞b
• D、a＞b＞c

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：构造函数F（x）=xf（x），则F（x）是偶函数，从而可得a=3f（3）=F（3）=F（-3），b=-f（-1）=F（-1），c=-2f（-2）=F（-2），又x∈（-∞，0）时，F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以F（-3）＞F（-2）＞F（-1），所以a＞c＞b．

解答： 解：∵f（x）是定义域为R的奇函数
令F（x）=xf（x），
则F（x）是偶函数，
且F′（x）=f（x）+xf′（x），
∴a=3f（3）=F（3）=F（-3），
b=-f（-1）=F（-1），
c=-2f（-2）=F（-2），
由题意可知，
当x∈（-∞，0）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（-∞，0）上，单调递减，
∴F（-3）＞F（-2）＞F（-1），
即a＞c＞b．
故选：A．

点评：本题考查函数奇偶性的应用，导数与单调性的关系，属于中档题．