Question

3．已知$\overrightarrow a$=（2sinα，1），$\overrightarrow b$=（cosα，1），α∈（0，$\frac{π}{4}$）．
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求tanα的值；
（2）若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{9}{5}$，求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$即可得到2sinα-cosα=0，从而可求出tanα的值；
（2）进行数量积的坐标运算，根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{9}{5}$即可求得$sin2α=\frac{4}{5}$，由α的范围便可求出cos2α的值，从而求出$sin（2α+\frac{π}{4}）$的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
∴2sinα-cosα=0；
∴2sinα=cosα；
∴$tanα=\frac{1}{2}$；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2sinαcosα+1=sin2α+1=\frac{9}{5}$；
∴$sin2α=\frac{4}{5}$；
∵$α∈（0，\frac{π}{4}）$；
∴$2α∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$cos2α=\frac{3}{5}$；
∴$sin（2α+\frac{π}{4}）=sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 考查向量平行的坐标关系，数量积的坐标运算，以及两角和的正弦公式．