Question

D（a，0）是定圆x²+y²=r²内的一点，四边形DEPF为矩形，点E、F在圆上，M为对角线的交点．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）当r=5，a=1，且OM取最小值时，求点E、F的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）由点E、F在圆x²+y²=r²上，可设E，F的坐标分别为（rcosα，rsinα），（rcosβ，rsinβ），P点坐标为（x，y），则根据DE⊥DF，

DP

=

DE

+

DF

，可得动点P的轨迹方程；
（2）当r=5，a=1时，x²+y²=49，由当x=-7，y=0时，OM取最小值，可得M点坐标，则E，F为以M为圆心，以4为半径的圆（x+3）²+y²=16与x²+y²=25的交点，联立两圆方程，可得点E、F的坐标．

解答： 解：（1）∵D（a，0）是定圆x²+y²=r²内的一点，四边形DEPF为矩形，点E、F在圆上，
∴可设E，F的坐标分别为（rcosα，rsinα），（rcosβ，rsinβ），P点坐标为（x，y），
由D点坐标为：（a，0），
∴

DE

=（rcosα-a，rsinα），

DF

=（rcosβ-a，rsinβ），
由DE⊥DF可得：（rcosα-a）（rcosβ-a）+r²sinαsinβ=0，
即r²cosαcosβ+r²sinαsinβ-（cosα+cosβ）ra+a²=0，…①
由

DP

=

DE

+

DF

=（x-a，y）=（r（cosα+cosβ）-2a，r（sinα+sinβ））可得：
x-a=r（cosα+cosβ）-2a，即x=r（cosα+cosβ）-a，y=r（sinα+sinβ），
则x²+y²=2r²+2（r²cosαcosβ+r²sinαsinβ-（cosα+cosβ）ra+a²）-a²，
由①得：x²+y²=2r²-a²；
（2）当r=5，a=1时，x²+y²=49，
由M为对角线的交点，故M的坐标为（

x+1

2

，

y

2

），
当x=-7，y=0时，OM取最小值，此时M的坐标为（-3，0），
此时E，F为以M为圆心，以4为半径的圆（x+3）²+y²=16与x²+y²=25的交点，
由

(x+3)2+y2=16 x2+y2=25

得：

x=-3 y=4

或

x=-3 y=-4

，
故点E、F的坐标为（-3，4）或（-3，-4）

点评：本题考查的知识点是轨迹方程，向量垂直的充要条件，圆与圆的交点，是向量与圆及三角函数的综合应用，难度较大．