Question

已知定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²-x，且对?x满足f（x-1）=2f（x），则函数f（x）在区间[5，7]上的最大值是

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由题设条件，可先根据对任意的x满足f（x-1）=2f（x）及当x∈[-1，1]时，f（x）=x²-x，解出函数f（x）在区间[5，7]上的解析式，再由所得的解析式根据二次函数的性质解出函数在区间[5，7]上的最大值即可求出答案．

解答： 解：由题意对任意的x满足f（x-1）=2f（x）（常数M≠0），
∴任取x∈[5，7]，则f（x）=

f(x-1)

2

=…=

f(x-6)

26

，
此时有x-6∈[-1，1]，又定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²-x，
∴f（x）=

f(x-6)

26

=

(x-6)2-(x-6)

26

=

x2-13x+42

26

=

(x- 13 2 )2- 1 4

26

，
当x=5时，函数f（x）在区间[5，7]上取到最大值是

2

26

=

1

32

．

点评：本题考查二次函数的最值及函数恒成立的关系，解题的关键是由题设条件解出要求最值的区间上的函数解析式，从而研究函数的最值，本题考查了转化的思想及最值的求法，二次函数的最值常用配方法求最值．