Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[-4.3]=-5．给出下列命题：
①对任意实数x，都有[x]-x≤0；
②若x₁≤x₂，则[x₁]≤[x₂]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函数f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，则y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为{-1，0}．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：直接利用定义判断①②的正误；利用对数值以及新定义求解判断③的正误；先由题意先化简函数f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，通过f（x）与f（-x）的值域讨论，求出f（x）]+[f（-x）]的值，判断④的正误．

解答： 解：对于①，对任意实数x，都有[x]-x≤0，满足新定义∴①正确．
对于②，x₁≤x₂，则[x₁]≤[x₂]，∴②正确．
对于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]
=0+1×90+2=92，∴③不正确．
对于④，函数f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

∈(-

1

2

，

1

2

)，
同理可得，f（-x）∈（-

1

2

，

1

2

），
当f（x）∈(-

1

2

，0)时，f（-x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
同理当f（-x）∈(-

1

2

，0)时，f（x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
当f（x）=0时，f（-x）=0，∴[f（x）]=0，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=0，
综上，y=[f（x）]+[f（-x）]={-1，0}
∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假的判断，反例法以及新定义的应用是解题的关键，通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域．