Question

解关于x的不等式  

x-1

x-2

＞

1

a

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：

x-1

x-2

＞

1

a

⇒

x-1

x-2

-

1

a

=

(a-1)x+2-a

a(x-2)

＞0，对参数a分a＜0、0＜a＜1、a=1与a＞1四种情况讨论，即可求得各自情况下的解集．

解答： 解：∵

x-1

x-2

＞

1

a

，
∴

x-1

x-2

-

1

a

=

a(x-1)-(x-2)

a(x-2)

=

(a-1)x+2-a

a(x-2)

＞0，
①当a＜0时，原不等式化为

(1-a)x-2+a

-a(x-2)

＞0，
∵

2-a

1-a

-2=

a

1-a

＜0，
∴

2-a

1-a

＜2，
∴原不等式的解集为：{x|x＜

2-a

1-a

或x＞2}；
②当0＜a＜1时，原不等式化为：

(1-a)x-2+a

a(x-2)

＜0，
∵

2-a

1-a

-2=

a

1-a

＞0，
∴

2-a

1-a

＞2，
∴原不等式的解集为：{x|2＜x＜

2-a

1-a

}；
③当a=1时，原不等式变为：

1

x-2

＞0，
∴x＞2，
∴原不等式的解集为：{x|x＞2}；
④当a＞1时，

x-1

x-2

＞

1

a

?

(a-1)x+2-a

a(x-2)

＞0，
∵

a-2

a-1

-2=-

a

a-1

＜0，
∴

a-2

a-1

＜2，
∴原不等式的解集为：{x|x＜

a-2

a-1

或x＞2}．

点评：本题考查含参数的分式不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．