Question

在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=

y0-x0

r

，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为[-

2

，

2

]；
②该函数图象关于原点对称；
③该函数图象关于直线x=

3π

4

对称；
④该函数的单调递增区间为[2k-

π

4

，2k+

3π

4

]，k∈Z，
则这些性质中正确的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：首先根据题意，求出y=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．

解答： 解：①根据三角函数的定义可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=

y0-x0

r

=

rsinx-rcosx

r

=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
因为-1≤sin(x-

π

4

)≤1，
所以-

2

≤

2

sin（x-

π

4

）≤

2

，
即该函数的值域为[-

2

，

2

]；
②因为f（0）=

2

sin（-

π

4

）=-1≠0，
所以该函数图象不关于原点对称；
③当x=

3π

4

时，
f（

3π

4

）=

2

sin

π

2

=

2

，
所以该函数图象关于直线x=

3π

4

对称；
④因为y=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
所以由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
可得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，
即该函数的单调递增区间为[2k-

π

4

，2k+

3π

4

]，k∈Z．
综上，可得这些性质中正确的有3个：①③④．
故选：C．

点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．