题目内容
【题目】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn ， 满足2Sn+bn=1
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）如果cn=anbn ， 设数列{cn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜Sn+ 
．
【答案】
（1）解：设数列{an}的公差为d，
∵a2、a4、a6+2成等比数列；
∴ 
=a2（a6+2），
即 
=（a1+d）（a1+5d+2），d＞0．
解得d=1，
∴an=1+（n﹣1）=n．
由2Sn+bn=1，
得Sn= 
，
当n=1时，2S1+b1=1，解得b1= 
，
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ 
= 
+ 
，
∴ 
，
∴数列{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 
．
（2）解：证明：由（1）知，cn=anbn= 
，
∴Tn= 
+…+ 
，
= 
+…+ 
+ 
，
得 
= 
+…+ 
﹣ = 
﹣ = 
﹣ 
，
∴Tn= 
﹣ 
．
又 
= 
+ 
= ﹣ 
，
∵ 
= ，
∴Tn＜Sn+ ．
【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式、递推关系即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
．
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