Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣alnx，其中a＞0，x＞0，e是自然对数的底数． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数g（x）= ，证明：0＜g（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = = =
①当0＜a≤1时，ex＞a，当x∈（0，1），f'（x）＜0；当x∈（1，+∞），f'（x）＞0；
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
②当1＜a＜e时，令ex=a，得x=lna∈（0，1），
由f'（x）＜0得lna＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜lna或x＞lna，
所以f（x）在（0，lna），（1，+∞）上单调递增，在（lna，1）上单调递减．
③当a=e时，令ex=a，f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上递增．
④当a＞e时，令ex=a，得x=lna∈（1，+∞），
由f'（x）＜0得1＜x＜lna，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞lna，
所以f（x）在（0，1），（lna，+∞）上单调递增，在（1，lna）上单调递减．
综上，当0＜a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
当1＜a＜e时，f（x）在（0，lna），（1，+∞）上单调递增，在（lna，1）上单调递减．
当a=e时，f（x）在（0，+∞）上递增．
当a＞e时，f（x）在（0，1），（lna，+∞）上单调递增，在（1，lna）上单调递减．
（Ⅱ）证明：0＜g（x）＜1 1+xlnx＞0①且 ②
先证①：令h（x）=1+xlnx，则h（x）=1+lnx，
当 ，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当 ，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
所以 = = ，故①成立！
再证②：由（Ⅰ），当a=1时， 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）≥f（1）=e﹣1＞0，故②成立！
综上，0＜g（x）＜1恒成立
【解析】（Ⅰ）求出 ，根据0＜a≤1，1＜a＜e，a=e，a＞e进行分类讨论，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．（Ⅱ）0＜g（x）＜1等价于1+xlnx＞0，且 ，由此利用导数性质能证明0＜g（x）＜1．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．