Question

【题目】平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，

当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，

∴ ，解得a=2，b=c= ，

∴椭圆方程为 ．

（2）

解：设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

由 ，得x2﹣4kx﹣4m=0，

则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，

由x2=4y，得 ，

故切线PA，PB的斜率分别为 ，kPB= ，

再由PA⊥PB，得kPAkPB=﹣1，

∴ ，

解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，

由 ，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，

∴|CD|= = ≤3．

当且仅当k= 时取等号，

∴弦|CD|的最大值为3

【解析】（1）由椭圆的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB为：y=kx+m，由 ，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由 ，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．