题目内容
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．
【答案】（I）有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（II）
．
【解析】
试题分析：（I）本问考查独立性检验，根据公式
，代入数据得
，所以有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（II）本文考查几何概型，首先设甲、乙解答一道题的时间分别为
分钟，根据题意应满足
，在平面直角坐标系中作图表示出不等式组表示的平面区域，为一个矩形，若乙比甲先解答完，则应满足
，在该直角坐标系中作直线
，则直线
的右下方表示
，在矩形区域内占据的区域如图中的阴影三角形部分，设事件
“乙比甲先解完”，则根据几何概型概率公式可知，
（
表示图中阴影三角形的面积，
表示矩形区域）．
试题解析：（Ⅰ）由表中数据得
的观测值
所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关． 6分
（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
（如图所示）
设事件
为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
． 12分
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