Question

16．用数学归纳法证明1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈n^*）

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：①当n=1时，去证明等式成立；②假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
②假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
由①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²对n∈N^*等式成立．

点评 本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．