Question

17．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短轴长为2，若直线l过点E（-1，0）且与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出直线l的方程，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y₁-y₂|，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得最值．

解答 解．（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
故椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）存在△AOB面积的最大值．
∵直线l过点E（-1，0），可设直线l的方程为 x=my-1．
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x=my-1.\end{array}\right.$，整理得（m²+4）y²-2my-3=0．
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OE}|•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{{2\sqrt{{m^2}+3}}}{{{m^2}+4}}=\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+3}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+3}}}}}$．
设$g（t）=t+\frac{1}{t}$，$t=\sqrt{{m^2}+3}$，$t≥\sqrt{3}$．
则g（t）在区间$[\sqrt{3}，+∞）$上为增函数，
∴$g（t）≥\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
∴${S_{△AOB}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，当且仅当m=0时取等号，即${（{S_{△AOB}}）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴S_△AOB的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．