Question

5．已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有四个零点，则实数k的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根据题意知函数是一个偶函数且周期是2，画出函数的图象，数形结合，可得函数g（x）=f（x）-kx-k有四个零点，即函数f（x）的图象与y=kx+k的图象有四个交点时，实数k的取值范围．

解答 解：由于f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期为2的函数，
∵x∈[0，1]时，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，
∴x∈[-1，0]，f（x）=-x，
函数的图象如下图所示：

若函数g（x）=f（x）-kx-k有四个零点，
则函数f（x）的图象与y=kx+k的图象有四个交点，
由y=kx+k的图象必过（-1，0）点，且过（3，1）点时，k=$\frac{1}{4}$，
由图可得：k∈（0，$\frac{1}{4}$]，
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$]

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．