Question

函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数f（x）的解析式为f（x）=

2

x

-1，若x∈（0，6]时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式转化为a≤

f(x)

x

在x∈（0，6]时恒成立，利用导数，求函数的最小值即可得到结论．

解答： 解：不等式f（x）≥ax恒成立，等价为a≤

f(x)

x

在x∈（0，6]时恒成立．
设g（x）=

f(x)

x

则g（x）=

2 x -1

x

=

2

x2

-

1

x

，
则g′(x)=-

4

x3

+

1

x2

=

x-4

x3

，
则当x＞4时，g'（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜4时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x=4时，g（x）取得极小值，同时也是最小值，
∴g_max（4）=

2

16

-

1

4

=

1

8

-

1

4

=-

1

8

，
∴a≤-

1

8

，
即a的取值范围是a≤-

1

8

．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用导数，构造函数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．