Question

5．已知函数f（x）=-x³+x²+bx+c，当x=$\frac{2}{3}$时，函数f（x）有极大值$\frac{4}{27}$．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=-3x²+2x+b，利用当x=$\frac{2}{3}$时，函数f（x）有极大值$\frac{4}{27}$，建立方程，即可求得实数b、c的值；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2x+b，
∵当x=$\frac{2}{3}$时，函数f（x）有极大值$\frac{4}{27}$，
∴f′（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$+b=0，f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$+c=$\frac{4}{27}$，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，
等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，
由（Ⅰ）知，f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x（x-$\frac{2}{3}$），
函数在[-1，0）上单调递减，在（0，$\frac{2}{3}$）上单调递增，在（$\frac{2}{3}$，2]上单调递减，
∵f（-1）=2，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
∴f（x）_max=f（-1）=2，
∴2≥3a-7，解得：a≤3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．