Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$
（1）求角B的大小
（2）求sinA+sinC的范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{1}{2}$acsinB，可求出tanB的值，再由三角形内角的范围可求出角B的值．
（2）根据三角形内角和为π将角A，C转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理，正弦函数的图象和性质可得答案．

解答 解：（1）由题意可知$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2accosB．
所以tanB=$\sqrt{3}$．
因为0＜B＜π，
所以B=$\frac{π}{3}$；
（2）由已知sinA+sinC
=sinA+sin（π-B-A）
=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力，考查了转化思想，属于中档题．