Question

20．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3$\sqrt{3}$，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；
（2）P为直线l上一动点，当点P到圆心C的距离最小时，求点P的极坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3$\sqrt{3}$，利用互化公式可得直角坐标方程．圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）由x²+y²=2$\sqrt{3}$y可得圆心C$（0，\sqrt{3}）$，经过圆心C与直线l垂直的直线方程为：y=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$x+$\sqrt{3}$，联立解出即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（$\sqrt{3}$cosθ-sinθ）=3$\sqrt{3}$，化为直角坐标方程：$\sqrt{3}$x-y-3$\sqrt{3}$=0．
圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y．
（2）由x²+y²=2$\sqrt{3}$y可得：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=3，可得圆心C$（0，\sqrt{3}）$，半径r=$\sqrt{3}$．
经过圆心C与直线l垂直的直线方程为：y=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$x+$\sqrt{3}$，化为：x+$\sqrt{3}$y-3=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-3=0}\\{\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得x=3，y=0，
∴ρ=3，tanθ=$\frac{y}{x}$=0．
∴P（3，0）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．