Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于点P，若∠PF₁F₂的平分线与∠F₁PF₂的平分线的交点为Q（1，1），则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$x
• B． y=±$\sqrt{2\sqrt{3}-3}$x
• C． y=±（$\sqrt{3}$+1）x
• D． y=±（$\sqrt{3}$-1）x

Answer 1

分析 由题意△F₁PF₂的内心坐标为Q（1，1），a=1，利用过F₁作倾斜角为30°的直线的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），Q到直线的距离为$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}c|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=1，求出c，即可得出结论．

解答 解：由题意△F₁PF₂的内心坐标为Q（1，1），∴a=1，
∵过F₁作倾斜角为30°的直线的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
∴Q到直线的距离为$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}c|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=1，
∴c=1+$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．