Question

20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t为参数）$，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；
（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．

Answer 1

分析 （1）由已知得t=x-3，从而y=$\sqrt{3}（x-3）$，由此能求出直线l的普通方程；由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C圆心坐标C（0，$\sqrt{3}$），设P（3+t，$\sqrt{3}t$），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．

解答 解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t为参数）$，
∴t=x-3，∴y=$\sqrt{3}（x-3）$，
整理得直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0，
∵$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，∴${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$，
∴圆C的直角坐标方程为：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
（2）圆C：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$的圆心坐标C（0，$\sqrt{3}$）．
∵点P在直线l：$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0上，设P（3+t，$\sqrt{3}t$），
则|PC|=$\sqrt{（3+t）^{2}+（\sqrt{3}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}+12}$，
∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．

点评 本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．