Question

7．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上两点，若过点A，B且斜率分别为-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，-$\frac{{x}_{2}}{4{y}_{2}}$的两直线交于点P，且直线OA与直线OB的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，E（$\sqrt{6}$，0），则|PE|的最小值为2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设出椭圆的参数方程，可得A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），运用导数，得到切线AP，BP的方程，联立求得交点P的坐标，x=$\frac{2（sinβ-sinα）}{sin（β-α）}$，y=$\frac{cosβ-cosα}{sin（α-β）}$，再由斜率之积为-$\frac{1}{4}$，得到cos（β-α）=0，sin（β-α）=±1，sin²（β-α）=1，即有P在椭圆（$\frac{x}{2}$）²+y²=2上，设P（2$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），求得|PE|，运用余弦函数的值域，即可得到最小值．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），
对$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1两边对x取导数，可得$\frac{x}{2}$+2y•y′=0，即有切线的斜率为-$\frac{x}{4y}$，
由题意可得AP，BP均为椭圆的切线，A，B为切点，
则直线AP的方程为$\frac{x{x}_{1}}{4}$+yy₁=1，即为$\frac{xcosα}{2}$+ysinα=1，
同理可得直线BP的方程为$\frac{xcosβ}{2}$+ysinβ=1，
求得交点P的坐标为，x=$\frac{2（sinβ-sinα）}{sin（β-α）}$，y=$\frac{cosβ-cosα}{sin（α-β）}$，
即有（$\frac{x}{2}$）²+y²=$\frac{（sinβ-sinα）^{2}+（cosβ-cosα）^{2}}{si{n}^{2}（β-α）}$=$\frac{2-2cos（β-α）}{si{n}^{2}（α-β）}$，
由k_OA•k_OB=-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{sinα}{2cosα}$•$\frac{sinβ}{2cosβ}$=-$\frac{1}{4}$，
即有cos（β-α）=0，sin（β-α）=±1，sin²（β-α）=1，
则（$\frac{x}{2}$）²+y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
设P（2$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），|PE|=$\sqrt{（2\sqrt{2}cosθ-\sqrt{6}）^{2}+（\sqrt{2}sinθ）^{2}}$
=$\sqrt{6co{s}^{2}θ-8\sqrt{3}cosθ+8}$=|$\sqrt{6}$cosθ$-2\sqrt{2}$|，
当cosθ=1时，|PE|_min=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，主要考查椭圆的参数方程的运用，注意运用三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，考查运算化简能力，属于难题．