Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=kn（n+1）-n（k∈R），公差d为2．
（1）求a_n与k；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n-b_n-1=2 an（n≥2），求b_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先利用S_n=kn（n+1）-n（k∈R），用k把a₁和a₂表示出来，再结合d=2即可求出k，则首项可求，通项可求；
（2）对于数列b_n所满足的条件，可采用迭代法，因为数列{a_n}通项已知，且b₁已知，所以最终b_n可求．

解答： 解：（Ⅰ）由题设得a₁=S₁=2k-1，
a₂=S₂-S₁=4k-1，
由a₂-a₁=2得k=1，
则a₁=1，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）b_n=bn-1+2an=bn-2+2an-1+2an=…=b1+2a2+2a3+…+2an-1+2an，
由（Ⅰ）知2an=22n-1，且b₁=2，
∴bn=21+23+25+…+22n-3+22n-1
=

2(1-4n)

1-4

=

2(4n-1)

3

．
显然n=1时，上式成立，
综上所述，bn=

2(4n-1)

3

．

点评：本题主要考查了等差数列的基本量计算、迭代法求数列通项的问题．前者主要是方程（组）的思想方法，后者要注意使用条件的判断．