Question

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为

2

2

，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）当m=2时，设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM长度的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由离心率e=

2

2

，2ab=2

2

，能求出椭圆标准方程．
（2）由 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．由此利用根的判别式能求出-

2

＜m＜

2

．
（3）直线l为：x-y+2=0，P（0，2），设M（x，y）满足

x2

2

+y2=1，则|PM|²=x²+（y-2）²=-（y+2）²+10，由-1≤y≤1，能求出|MP|最大值．

解答： 解：（1）由离心率e=

2

2

，得b=c=

2

2

a，
又因为2ab=2

2

，所以a=

2

，b=1，
所以椭圆标准方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（2）由 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．
所以△=4m4-4(1+

m2

2

)(2m2-2)＞0，可化为m²-2＜0，
解得-

2

＜m＜

2

．（9分）
（3）由（2）得直线l为：x-y+2=0，
设x=0，则y=2，所以P（0，2）．（11分）
设M（x，y）满足

x2

2

+y2=1，
则|PM|²=x²+（y-2）²=2-2y²+（y-2 ）²=-y²-4y+6
=-（y+2）²+10，（13分）
因为-1≤y≤1，
所以当y=-1时，|MP|取最大值3．（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查线段长的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式和配方法的合理运用．