Question

是否存在实数a，b使得关于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立？若存在，求出a，b的值并证明等式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：存在a=1，b=2使得关于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立．证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：存在a=1，b=2使得关于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立
证明如下：
①当n=1时，等式成立．
②假设n=k（k∈N^*）时等式成立，
即1²+2²+3²+…k²=

k(k+1)(2k+1)

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；
当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

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+（k+1）²=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

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即n=k+1时，等式成立．
因此存在a=1，b=2使得关于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立．

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．