Question

12．如图，半径为2的圆圆心的初始位置坐标为（0，2），圆上一点A坐标为（0，0）．圆沿x轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（4，2）时，A点坐标为（4-2sin2，2-2cos2）．

Answer 1

分析 设滚动后的圆的圆心为O'，切点为C（4，0），连接O'A，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（6，2），设∠BO'A=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标，再根据圆的圆心从（0，2）滚动到（4，2），算出θ，结合三角函数的诱导公式，化简可得A的坐标．

解答 解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为C（4，0），连接O'A，
过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（6，2），设∠BO'A=θ，
∵⊙O'的方程为（x-4）²+（y-2）²=4，
∴根据圆的参数方程，得A的坐标为（4+2cosθ，2+2sinθ），
∵单位圆的圆心的初始位置在（0，2），圆滚动到圆心位于（4，2）
∴可得θ=$\frac{3π}{2}$-2
可得cosθ=cos（$\frac{3π}{2}$-2）=-sin2，sinθ=sin（$\frac{3π}{2}$-2）=-cos2，
代入上面所得的式子，得到A的坐标为（4-2sin2，2-2cos2）．
故答案为（4-2sin2，2-2cos2）

点评 本题根据半径为2的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．