题目内容
已知f（x）=logax-x+1，（a＞0，且a≠1），如f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值集合为 ．
考点：对数函数的图像与性质
专题：函数的性质及应用
分析：若f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即logax≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立，即函数y=logax的图象不会在y=x-1上方，分0＜a＜1时和a＞1时，讨论满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．
解答：
解：∵f（x）=logax-x+1，
若f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
即logax≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立，
即函数y=logax的图象不会在y=x-1上方，
当0＜a＜1时，函数y=logax与y=x-1的图象如下图所示：
不满足要求：
当a＞1时，函数y=logax与y=x-1的图象如下图所示：
若要满足条件，则函数y=logax与y=x-1切于（1，0）点，
即y′|x=1=
=logae=1，
解得：a=e，
综上所述：a的取值集合为：{e}，
故答案为：{e}
若f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
即logax≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立，
即函数y=logax的图象不会在y=x-1上方，
当0＜a＜1时，函数y=logax与y=x-1的图象如下图所示：
不满足要求：
当a＞1时，函数y=logax与y=x-1的图象如下图所示：
若要满足条件，则函数y=logax与y=x-1切于（1，0）点，
即y′|x=1=
| logae |
| x |
解得：a=e，
综上所述：a的取值集合为：{e}，
故答案为：{e}
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，其中将已知中f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，转化为函数y=logax的图象不会在y=x-1上方，是解答的关键．
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