Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题的序号为

 

．
①如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是0＜k＜1
②双曲线

y2

25

-

x2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点；
③若方程2x²-5x+a的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；
④到定点A（5，0）及定直线l：x=-5的距离之比为1的点的轨迹方程为y²=10x．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①根据椭圆的定义即可求出k的范围，
②焦点在x轴上，求出焦点坐标即可，
③求出方程的根，根据椭圆的离心率和双曲线的离心率的范围，求出a的范围，
④求出点的轨迹方程即可，

解答： 解：①正确，如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴的椭圆，则

2

k

＞2，且k＞0解的0＜k＜1．
②正确，双曲线

y2

25

-

x2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）
③正确，若方程2x²-5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则

5+ 25-8a

4

＞1，且，0＜

5- 25-8a

4

＜1，
解得0＜a＜3，
④错误，设点p的坐标为（x，y），由题意得

(x-5)2+y2

|x+5|

=1，化简计算得，为y²=20x，
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．