Question

等比数列{a_n}的公比q=

1

2

，前5项的和为

31

64

．令b_n=log 

1

2

a_n，数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜c对n∈N*恒成立，则实数c的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,基本不等式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹，从而得到b_n=log 

1

2

a_n=log

1

2

(

1

2

)n+1=n+1，

1

bnbn+1

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂项求和法得到T_n=

1

2

-

1

n+2

，由此能求出T_n＜c对n∈N*恒成立时实数c的最小值．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的公比q=

1

2

，前5项的和为

31

64

，
∴

a1(1- 1 25 )

1- 1 2

=

31

64

，解得a₁=

1

4

，
∴an=

1

4

•(

1

2

)n-1=（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴b_n=log 

1

2

a_n=log

1

2

(

1

2

)n+1=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴Tn＜

1

2

，
∵T_n＜c对n∈N*恒成立，∴实数c的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．