Question

7．设F为抛物线y²=8x的焦点，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁²+S₂²+S₃²=（　　）

• A． 36
• B． 48
• C． 54
• D． 64

Answer 1

分析 确定抛物线y²=8x的焦点F的坐标，求出S₁²+S₂²+S₃²的表达式，利用点F是△ABC的重心，求得数值．

解答 解：设A、B、C三点的坐标
分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵抛物线y²=8x的焦点F的坐标为（2，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×|y₁|×2=|y₁|，
S₂=$\frac{1}{2}$×|y₂|×2=|y₂|，
S₃=$\frac{1}{2}$×|y₃|×2=|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=y₁²+y₂²+y₃²=8（x₁+x₂+x₃）；
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴点F是△ABC的重心，
∴$\frac{1}{3}$（x₁+x₂+x₃）=p=2，
∴（x₁+x₂+x₃）=6；
∴S₁²+S₂²+S₃²=6×8=48．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形重心的性质，是中档题．