Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a、b、c，△ABC的外接圆半径且满足

cosC

cosB

=

2a-c

b

．
（1）求角B的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由正弦定理可将已知化简为sinA=2sinAcosB，从而可求角B的大小；
（2）由余弦定理知b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，从而求得ac≤9，故可求△ABC的面积的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理得：

cosC

cosB

=

2sinA-sinC

sinB

．
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
（2）∵b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
∴ac≤

b2

2-2cosB

=

9

2-2× 1 2

=9，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了三角形面积公式的应用，属于中档题．