Question

设F为抛物线C：y=-

1

4

x2的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线l与x轴的交点为Q，
（1）求∠PQF；
（2）设过F且距Q距离最大的直线交C于MN，求弦MN的长．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）知F（0，-1），直线l的方程为y+4=2（x+4），令y=0，得Q的坐标，进而可得PQ⊥QF，即可求∠PQF；
（2）设过F且距Q距离最大的直线与QF垂直，可得MN的方程，即可求弦MN的长．

解答： 解：（1）易知F（0，-1），直线l的方程为y+4=2（x+4），令y=0，得Q（-2，0），所以
k_QF=

-1-0

0+2

=-

1

2

，所以PQ⊥QF，即∠PQF=90°．
（2）∵k_QF=

-1-0

0+2

=-

1

2

，∴k_MN=2
∴MN：y=2x-1，
代入抛物线C：y=-

1

4

x2可得x²+8x-4=0
∴MN=

1+4

•

64+16

=20

点评：本题考查求弦MN的长，考查学生的计算能力，比较基础．