Question

已知ρ=2α•cos（θ+

π

4

）（α＞0）．
（1）当α=

2

时，设OA为圆的直径，求点A的极坐标；
（2）直线l的参数方程是

x=2t y=4t

，直线l被圆C截得的弧长为d，若d≥

2

，求α的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）把a值代入圆的极坐标方程，化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，求出OA所在直线方程，与圆的方程联立后可求A的坐标；
（2）化圆的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心坐标，化直线的参数方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离求出圆心距，从而得到直线l被圆C截得的弦长d，由d≥

2

，求α的取值范围．

解答： 解：（1）a=

2

时，由ρ=2acos（θ+

π

4

），得x²+y²=2x-2y．
所以圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y+1）²=2  ①
所以圆心C（1，-1）．
又点O的直角坐标为（0，0），
所以直线OA的直线方程为y=-x②
联立①②解得点A的直角坐标为（2，-2），极坐标为（2

2

cos

7π

4

，2

2

sin

7π

4

）；
（2）由ρ=2α•cos（θ+

π

4

）得
圆C的直角坐标方程为(x-

2

2

α)2+(y+

2

2

α)2=α2，
由

x=2t y=4t

，得直线l的直角坐标方程为y=2x．
所以圆心C（

2

2

α，-

2

2

α）到直线l的距离为

|- 2 2 α- 2 α|

5

，
所以d=2

α2- 9α2 10

=

10

5

α．
所以

10

5

α≥

2

，所以α≥

5

．

点评：本题考查了参数方程和直角坐标方程的互化，考查了极坐标化直角坐标，考查了直线和圆的位置关系，是基础的计算题．