题目内容
给出定义：若 m-
＜x≤m+
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
，
]；
②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-
，
]上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是（ ）
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①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
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②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-
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则上述命题中真命题的序号是（ ）
| A、①④ | B、①③ | C、②③ | D、②④ |
考点：命题的真假判断与应用
专题：新定义
分析：依据函数定义，得到f（x）=x-{x}∈（-
，
]，再对四个命题逐个验证后，即可得到正确结论．
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解答：
解：由题意知，{x}-
＜x≤{x}+
，则得到f（x）=x-{x}∈（-
，
]，故①对；
由于k∈Z，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）=x-{x}∈（-
，
]，故函数图象不是中心对称图形，故②错；
由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-
，
]的最小正周期为1，故③对；
由于{x}-
＜x≤{x}+
则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在(-
，
]，(
，
]上是增函数，
但在区间（-
，
]上不是增函数，故命题④错．
所以正确的命题为①③
故答案为：①③．
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由于k∈Z，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）=x-{x}∈（-
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由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-
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但在区间（-
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所以正确的命题为①③
故答案为：①③．
点评：本题考查的知识点是：判断命题的真假，我们可以根据给定函数的定义对四个结论逐一进行判断，本题是一道属于难题．
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