Question

已知x∈（0，a]，求函数f（x）=x²+

1

x2

+x+

1

x

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：本题可以通过换元法，将原函数转化为二次函数，再利用分类讨论，对新变量进行研究，从而得到新函数的定义域，得到本题的最小值．

解答： 解：设t=x+

1

x

，则t2=x2+

1

x2

+2，x²+

1

x2

=t²-2．
原函数转化为g（t）=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

．
∵x∈（0，a]，
∴（1）当a≥1时，
t=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号．
g(t)≥(2+

1

2

)2-

9

4

=4．
（2）当0＜a＜1时，
t=x+

1

x

在（0，a]单调递减，t≥a+

1

a

＞2，
g（t）=t²+t-2在[a+

1

a

，+∞)单调递增，
g(t)≥a2+

1

a2

+a+

1

a

．
综上所述，当a≥1时，函数f（x）=x²+

1

x2

+x+

1

x

的最小值为4；
当0＜a＜1时，函数f（x）=x²+

1

x2

+x+

1

x

的最小值为a2+

1

a2

+a+

1

a

．

点评：本题考查的是基本不等式和二次函数的最值，还考查了分类讨论的数学思想，难点在于换元法．本题有一定难度，属于中档题．